Задачи и теоремы из анализа. Часть 2.

Теория функций, распределение нулей полиномов, определители, теория чисел.

Джордж Пойа, Габор Сеге

М., Наука, 1978. 432 с.

Загрузить (Mb) djvu (4) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Перевод с немецкого Д.А.Райкова.

---

Содержание

Обозначения и сокращения.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

Глава 1.
Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей.
§ 1 (1?40). Аналогия между μ(r) и М(r), v(r) и N(r). Вопрос и ответ.
§ 2 (41?47). Дальнейшие свойства функций μ(r) и v(r). Вопрос и ответ.
§ 3 (48?66). Связь между μ(r), v(r), М(r), N(r). Вопрос и ответ.
§ 4 (67?76). μ(r) и М(r) при специальных предположениях правильности роста. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Однолистные конформные отображения.
§ 1 (77?83). Задачи подготовительного характера. Вопрос и ответ.
§ 2 (84?87). Теоремы единственности. Вопрос и ответ.
§ 3 (88?96). Существование отображающей функции. Вопрос и ответ.
§ 4 (97?120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная отображающая функция. Вопрос и ответ.
§5 (121?135). Связи между отображениями различных областей. Вопрос и ответ.
§ 6 (136?163). Теорема Кебе об искажении. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (164?174). Varia. Вопрос и ответ.
§ 2 (175?179). Об одном приеме Э.Ландау. Вопрос и ответ.
§ 3 (180?187). Прямолинейное приближение к существенно особой точке. Вопрос и ответ.
§ 4 (188?194). Асимптотические значения целых функций. Вопрос и ответ.
§ 5 (195?205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.

Глава 1.
Теорема Ролля и правило Декарта.
§ 1 (1?21). Нули функций, перемены знака последовательностей. Вопрос и ответ.
§ 2 (22?27). Изменения знака функции. Вопрос и ответ.
§ 3 (28?41). Первое доказательство правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 4 (42?52). Применения правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 5 (53?76). Применения теоремы Ролля. Вопрос и ответ.
§ 6 (77?86). Доказательство правила Декарта, прянадлежащее Лагерру. Вопрос и ответ.
§ 7 (87?91). На чем основывается правило Декарта? Вопрос и ответ.
§ 8 (92?100). Обобщения теоремы Ролля. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Геометрические свойства нулей полиномов.
§ 1 (101?110). Центр тяжести системы точек относительно некоторой точки. Вопрос и ответ.
§ 2 (111?127). Центр тяжести полинома относительно некоторой точки. Теорема Лагерра. Вопрос и ответ.
§ 3 (128?156). Производная полинома относительно некоторой точки. Теорема Грэйса. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (157?182). Приближение нулей трансцендентных функций нулями рациональных. Вопрос и ответ.
§ 2 (183?189). Точное определение числа нулей при помощи правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 3 (190?196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ.

§ 1 (1?7). Полиномы Чебышева. Вопрос и ответ.
§ 2 (8?15). Общие сведения о тригонометрических полиномах. Вопрос и ответ.
§ 3 (16?28). Специальные тригонометрические полиномы. Вопрос и ответ.
§ 4 (29?38). Из теории рядов Фурье. Вопрос и ответ.
§ 5 (39?43). Неотрицательные тригонометрические полиномы. Вопрос и ответ.
§ 6 (44?49). Неотрицательные полиномы. Вопрос и ответ.
§ 7 (50?61). Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов. Вопрос и ответ.
§ 8 (62?66). Максимумы и минимумы полиномов. Вопрос и ответ.
§ 9 (67?76). Интерполяционная формула Лагранжа. Вопрос и ответ.
§ 10 (77?83). Теоремы С.Бернштейна и А.Маркова. Вопрос и ответ.
§ 11 (84?102). Полиномы Лежандра и родственные им. Вопрос и ответ.
§ 12 (103?113). Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

§ 1 (1?16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений. Вопрос и ответ.
S 2 (17?34). Разложение рациональных функций в степенные ряды. Вопрос и ответ.
§ 3 (35?43). Положительные квадратичные формы. Вопрос и ответ.
§ 4 (44?54). Смешанные задачи. Вопрос и ответ.
§ 5 (55?72). Определители систем функций. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Глава 1.
Теоретико-числовые функции.
§ 1 (1?11). Задачи на целые части чисел. Вопрос и ответ.
§ 2 (12?20). Подсчет целых точек. Вопрос и ответ.
§3 (21?27). Одна теорема формальной логики и ее применения. Вопрос и ответ.
§ 4 (28?37). Части и делители. Вопрос и ответ.
§ 5 (38?42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды Дирихле. Вопрос и ответ.
§ 6 (43?64). Мультипликативные теоретико-числовые функции. Вопрос и ответ.
§ 7 (65?78). Ряды Ламберта и родственные им. Вопрос и ответ.
§ 8 (79?83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Целочисленные полиномы и целозначные функции.
§ 1 (84?93). Целочисленность и целозначность полиномов. Вопрос и ответ.
§ 2 (94?115). Целозначные функции и их простые делители. Вопрос и ответ.
§ 3 (116?129). Неприводимость полиномов. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Теоретико-числовые свойства степенных рядов.
§ 1 (130?137). Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах. Вопрос и ответ.
§ 2 (138?148). К теореме Эйзенштейна. Вопрос и ответ.
§ 3 (149?154). К доказательству теоремы Эйзенштейна. Вопрос и ответ.
§ 4 (155?164). Целочисленные степенные ряды рациональных функций. Вопрос и ответ.
§ 5 (165?173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 6 (174?187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица. Вопрос и ответ.
§ 7 (188?193). Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности точки z==∞, в целочисленных точках. Вопрос и ответ.

Глава 4.
Об алгебраических целых числах.
§ 1 (194?203). Алгебраические целые числа. Поля. Вопрос и ответ.
§ 2 (204?220). Наибольший общий делитель. Вопрос и ответ.
§ 3 (221?227). Сравнения. Вопрос и ответ.
§ 4 (228?237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов. Вопрос и ответ.

Глава 5.
Смешанные задачи.
§ 1 (238?244). Плоская квадратная целая решетка. Вопрос и ответ.
§ 2 (245?266). Смешанные задачи. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ (приложение).
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.

(1?25). Вопрос и ответ.
Предметный указатель.

---

Загрузить (Mb) djvu (4) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)