Симметрия в алгебре.

Владимир Григорьевич Болтянский, Наум Яковлевич Виленкин

М.: МЦНМО, 2002. 240 с.
ISBN 5-94057-041-0; Тираж 2000 экз.

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (1.22) ps (-) html (-) tex (-)

Решение многих задач элементарной алгебры значительно облегчается, если использовать симметричность условия задачи. В этой книге рассказывается, как использовать симметрию при решении систем уравнений, иррациональных уравнений, неравенств и т. д. Все этиза дачир ешаются единообразным методом, основанным на теории симметрических многочленов.

Книга будет полезна школьникам, готовящимся к конкурсным экзаменам, студентам пединститутов и учителям математики.

---

Содержание

Введение

? 1. Симметрические многочлены от x и y

    1. Примеры симметрических многочленов.

    2. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

    3. Выражение степенных сумм через σ₁ и σ₂.

    4. Доказательство основной теоремы.

    5. Теорема единственности.

    6. Формула Варинга.

? 2. Применения к элементарной алгебре. I

    7. Решение систем уравнений. Упражнения.

    8. Введение вспомогательных неизвестных. Упражнения.

    9. Задачи о квадратных уравнениях. Упражнения.

    10. Неравенства. Упражнения.

    11. Возвратные уравнения. Упражнения.

    12. Разложение симметрических многочленов на множители. Упражнения.

    13. Разные задачи. Упражнения.

? 3. Симметрические многочлены от трёх переменных.

    14. Определение и примеры.

    15. Основная теорема о симметрических многочленах от трёх переменных.

    16. Выражение степенных сумм через σ₁, σ₂, σ₃.

    17. Орбиты одночленов.

    18. Доказательство основной теоремы. Упражнения.

    19. Формула Варинга.

    20. Обратные степенные суммы.

? 4. Применения к элементарной алгебре. II

    21. Решение систем уравнений с тремя неизвестными. Упражнения.

    22. Разложение на множители. Упражнения.

    23. Доказательство тождеств. Упражнения.

    24. Неравенства. Упражнения.

    25. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Упражнения.

? 5. Антисимметрические многочлены от трёх переменных.

    26. Определение и примеры.

    27. Основная теорема об антисимметрических многочленах. Упражнения.

    28. Дискриминант и его применение к исследованию корней уравнения. Упражнение.

    29. Применение дискриминанта к доказательству неравенств. Упражнение.

    30. Чётные и нечётные перестановки.

    31. Чётно-симметрические многочлены.

? 6. Применения к элементарной алгебре. III

    32. Разложение на множители. Упражнения.

    33. Доказательство тождеств и упрощение алгебраических выражений. Упражнения.

    34. Разложение симметрических многочленов от трёх переменных на множители. Упражнения.

? 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных.

    35. Элементарные симметрические многочлены от несколь- ких переменных.

    36. Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных.

    37. Выражения степенных сумм через элементарные симметрические многочлены. Упражнения.

    38. Элементарные симметрические многочлены от n переменных и алгебраические уравнения n-й степени. Формулы Виета. Упражнения.

    39. Метод неопределённых коэффициентов. Упражнения.

    40. Словарное расположение многочленов; старшие члены.

    41. Отбор слагаемых многочлена φ(σ₁, σ₂, . . ., σ_n) с помощью старших членов.

    42. Антисимметрические многочлены от n переменных. Упражнения.

    43. Общий метод освобождения от иррациональности в знаменателе.

    44. Извлечение корней с помощью симметрических многочленов.

Д о п о л н е н и е

Некоторые сведения об алгебраических уравнениях высших степеней

    45. Теорема Безу. Упражнения.

    46. Нахождение целых корней многочленов с целыми коэффициентами. Упражнения.

    47. Нахождение целых комплексных корней. Упражнения.

    48. Основная теорема алгебры и разложение многочленов на множители первой степени.

Решения

---

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (1.22) ps (-) html (-) tex (-)