Построение геометрии на основе понятия симметрии.

Фридрих Бахман

М.: Наука, 1969. 380 с.
Тираж 13500 экз.

Загрузить (Mb) djvu (2.75) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Перевод с немецкого Р.И.Пименова под редакцией И.М.Яглома

Благодарим Михаила Шпигельмана за подготовку электронной версии книги.

---

Содержание

От редактора

Предисловие автора

Глава I. Введение

  ? 1. Симметрии на евклидовой плоскости.
    1. Инволютнвные движения.
    2. Представление движений в виде произведений симметрии.
    3. Движения движений (внутренние автоморфизмы группы движений).
    4. Запись геометрических соотношений на языке группы движений.
    5. Доказательство некоторых теорем с помощью исчисления симметрии.

  ? 2. Понятие метрической плоскости.
    1. Модель непрерывной эллиптической плоскости.
    2. Модель Клейна непрерывной гиперболической плоскости.
    3. Метрические плоскости.
    4. Построение плоской метрической геометрии в терминах группы движений.
    5. Доказательства.

Глава II. Метрическая (абсолютная) геометрия.

  ? 3. Система аксиом метрической (абсолютной) геометрии.
    1. Инволютивные элементы группы. Основные соотношения.
    2. Система аксиом.
    3. Групповая плоскость. Движения групповой плоскости.
    4. Первые следствия из аксиом.
    5. Отношение принадлежности одному пучку.
    6. Теорема о перпендикуляpax.
    7. Представление движений.
    8. Собственные и зеркальные движения. Аксиома полярного трехсторонника.
    9. Аналогия между точками и прямыми.
    10. Неподвижные прямые и неподвижные точки движения.
    11. Существование точек и прямых.

  ? 4. Теоремы метрической геометрии.
    1. Теорема о медиатрисах.
    2. Теорема о высотах.
    3. Теорема об основаниях.
    4. Теорема о транзитивности.
    5. Пучок прямых.
    6. Теорема о биссектрисах.
    7. Лемма о девяти прямых.
    8. Спаривание прямых.
    9. Теорема Паппа ? Брианшона.
    10. Теорема о медианах.

  ? 5. Проективные и проективно-метрические плоскости.
    1. Проективные плоскости.
    2. Проективная геометрия одномерного образа.
    3. Проективные коллинеации на плоскости.
    4. Корреляция, поляритет.
    5. Проективно-метрические плоскости.
    6. Ортогональная инволюция.

  ? 6. Обоснование метрической геометрии.
    1. Полуповороты прямых.
    2. Отображения пучков, индуцированные полуповоротами.
    3. К определению полуповорота.
    4. Расширение групповой плоскости до идеальной плоскости.
    5. Идеальная плоскость группы движений.
    6. Группа, порожденная полуповоротами вокруг некоторой идеальной точки.
    7. Аксиомы евклидовой и неевклидовой метрик.
    8. Метрически-евклидовы плоскости.
    9. Абсолютная полярная инволюция в идеальной плоскости метрически-евклидовой группы движений.
    10. Абсолютный поляритет на идеальной плоскости метрически-неевклидовой группы движений.
    11. Основная теорема.
    12. Евклидова и эллиптическая группы движений.
    Замечание о свободной подвижности.

  ? 7. О законе транзитивности для произвольных инволютивных элементов.
    1. Законы, выполняющиеся в метрически-неевклидовых группах движений для произвольных инволютивных элементов.
    2. Аксиоматическая характеристика эллиптической группы движений.
    3. Пучок инволютивных элементов.
    4. Биинволютивные группы, в которых имеет место закон транзитивности.
    5. Отношение Томсена.
    Замечание об алгебраизации аффинной и проективной плоскостей.

Глава III. Проективно-метрическая геометрия.

  ? 8. Проективно-метрические координаты плоскости и метрическое векторное пространство.
    1. Проективные и проективно-метрические координаты плоскости.
    2. Векторные пространства.
    3. Метрические векторные пространства и ортогональные группы.
    4. Проективно-метрические плосткости и метрические векторные пространства.
    5. К теореме о трех симмметриях.

  ? 9. Ортогональные группы.
    1. Резюме.
    2. Лемма.
    3. Группы O⁺₃(K, F) с бинарной формой, отделяющей нуль.
    4. Группы O⁺₃(K, F) с бинарной формой, отделяющей нуль, как евклидовы группы движений.
    5. Группы O⁺₃(K, F) с тернарной формой, отделяющей нуль.
    6. Группы O⁺₃(K, F) с тернарной формой, отделяющей нуль, как эллиптические группы движений.
    7. Группы O⁺₃(K, F) с произвольной тернарной формой.
    Законы, которым подчиняются инволютивные элементы группы O⁺₃(K, F) с тернарной формой, не отделяющей нуль.

  ? 10. Представление метрических векторных пространств и их ортогональных групп с помощью гиперкомплексных систем.
    1. Нормированная тернарная форма.
    2. Кватернионы.
    3. Норма собственного ортогонального преобразования.
    4. Матрицы второго порядка над K. Линейная группа L₂(K).
    5. Построение метрически-неевклидовых групп движения.

  ? 11. Группы движений гиперболических проективно-метрических плоскостей, как абстрактные группы, порождаемые своими инволютивными элементами (H-группы).
    1. Система аксиом для H-групп.
    2. Пучок инволютивных элементов. Следствия основного допущения и аксиомы Т.
    3. Концы. Следствия аксиом ~V, UV1, UV2.
    4. Исчисление концов.
    5. Представление дробно-линейными преобразованиями.
    6. Резюме.
    7. Специальный класс инволютивных элементов H-группы.

Глава IV. Евклидова геометрия.

  ? 12. Теорема Паппа-Паскаля в евклидовой геометрии.
    1. Аксиомы и их непосредственные следствия.
    2. Леммы о параллельных прямых.
    3. Шесть доказательств теоремы Паппа-Паскаля.

  ? 13. Алгебраическое представление евклидовых групп движений.
    1. Представление евклидовых групп движений как групп движений евклидовых координатных плоскостей.
    2. Специальные евклидовы группы движений.

Глава V. Гиперболическая геометрия.

  ? 14. Гиперболическая группа движений.
    1. Аксиомы гиперболических групп движений.
    2. Концы.
    3. Лемма Бергау о конце.
    4. Соединимость концов.
    5. Гиперболическая группа движений и H-группы.
    6. Требования, равносильные гиперболической аксиоме Н.

  ? 15. Представление гиперболических групп движений бинарными линейными группами.
    1. Представление гиперболических групп движений.
    2. Гиперболические группы движений, в которых каждая прямая принадлежит концу.

Глава VI. Эллиптическая геометрия.

  ? 16. Обоснование эллиптической геометрии.
    1. Эллиптические группы движений и их групповые плоскости.
    2. Теорема Паппа-Паскаля.
    3. Представление группы движений как группы движений проективно-метрической плоскости.

  ? 17. Групповое пространство эллиптической группы движений.
    1. Пучки и группы поворотов.
    2. Пространственные проективные аксиомы трансцендентности.
    3. Групповое пространство.
    4. Правая и левая параллельности. Поверхности Клиффорда.
    5. "Стереометрическое" доказательство теоремы Паппа-Паскаля.
    6. Квадраты в эллиптической группе движений. Аксиома свободной подвижности.
    7. Движения группового пространства.
    8. Порождение поверхностей Клиффорда вращением.
    9. Полуповороты в групповой плоскости и переносы в групповом пространстве.
    10. Истолкование группового пространства на групповой плоскости.
    11. Теорема Бэра.

Добавления

  ? 18. О метрических группах движений.
    1. О разных системах образующих одной и той же группы.
    2. Проективно-метрические группы движений.
    3. Полные метрические группы движений.
    4. Метрические подгруппы группы движений.
    5. Подчиненные метрические подгруппы группы движений.
    6. Примеры.

  ? 19. Метрически-евклидовы плоскости.
    1. Геометрический признак метрически-евклидовых подплоскостей.
    2. Алгебраический признак метрически-евклидовых подплоскостей.
    3. Метрически-евклидовы подплоскости со свободной подвижностью.
    4. Метрически евклидовы подгруппы группы движений.

Таблица аксиом.

П р и л о ж е н и е. Модели плоской абсолютной геометрии.

Литература.

Указатель символов.

Предметный указатель.

---

Загрузить (Mb) djvu (2.75) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)