Теоретическая арифметика.

Игорь Владимирович Арнольд

М., Учпедгиз, 1938. 480 с.
Тираж 10000 экз.

Загрузить (Mb) djvu (8.65) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Книга состоит из двух частей - учения о числе в его последовательных обобщениях и начальных глав теории чисел в обычном смысле слова. Здесь читатель найдет теорию количественного натурального числа по Кантору, теорию натуральных чисел и двустороннего натурального ряда Грассмана, теорию пар для введения отрицательных, дробных и комплексных чисел, теорию сечений Дедекинда, сходящихся последовательностей Кантора, краткие сведения о трансфинитных числах, теорию кватернионов в геометрическом изложении и элементарные сведения из теории гиперкомплексных чисел.

---

Содержание

Предисловие.
Введение.

Глава I.
Количественные натуральные числа.

? 1. Счет.
? 2. Множества.
? 3. Равномощные множества.
? 4. Классы равномощных множеств и количественные числа.
? 5. Конкретный смысл числовых соотношений.
? 6. Конкретные заместители абстрактного понятия о числе.
? 7. Процесс счета и переход к абстрактной формулировке арифметических положений.
? 8.Основные операции над множествами и над количественными числами в теории Кантора.
? 9. Бесконечные множества и трансфинитные количественные числа.
? 10. Необходимость логической характеристики конечных множеств.
? 11. Логическая характеристика индивидуальных классов равномощных множеств.
? 12. Конечные множества.
? 13. Принцип полной индукции.
? 14. Принцип полной индукциии суждения об открытых совокупностях.
? 15. Свойства конечных множеств и системы конечных количественных чисел.
? 16. Натуральный ряд как бесконечная совокупность.

Глава II.
Порядковое натуральное число.

? 17. Аксиоматика натурального ряда. Система аксиом Пеано.
? 18. Различные интерпретации системы аксиом Пеано.
? 19. Метод индуктивных определений Грассмана.
? 20. Теория арифметических действий по Грассману.
? 21. Сравнение натуральных чисел в теории Грассмана.
? 22. Введение нуля.
? 23. Отрицательные числа и теория двустороннего натурального ряда.
? 24. Порядковые трансфинитные числа.

Глава III.
Измерение скалярных величин и операторная теория рациональных чисел.

? 25. Соотношения скалярного расположения. Скалярные величины.
? 26. Числовая характеристика значений скалярной величины.
? 27. Числовая характеристика значений измеримых величин.
? 28. Аддитивные величины. Задача измерения.
? 29. Операторная теория рациональных чисел.
? 30. Аксиома Архимеда.
? 31. Соизмеримые и несоизмеримые переходы.
? 32. Действительные числа.
? 33. Построение шкалы числовых отметок на основе процесса измерения.
? 34. Классификация скалярных величин на основе критерия выполнимости операций.

Глава IV.
Теории пар.

? 35. Переход к теории пар.
? 36. Отрицательные числа как пары положительных чисел.
? 37. Пары как числовые системы с двумя единицами.
? 38. Включение положительных чисел в систему пар. Принцип перманентности.
? 39. Общие свойства системы относительных чисел. Группа, кольцо, поле.
? 40. Дробные числа как пары целых чисел.
? 41. Система рациональных чисел как числовое поле.

Глава V.
Операторная теория действий третьей ступени.

? 42. Постановка вопроса.
? 43. Операторная теория возвышения в степень с дробным показателем.
? 44. Мультипликативное (логарифмическое) измерение.
? 45. Операции высших ступеней.

Глава VI.
Действительные числа.

? 46. Постановка вопроса.
? 47. Рациональная числовая прямая.
? 48. Определение непрерывности по Дедекинду.
? 49. Отсутствие непрерывности в системе рациональных чисел.
? 50. Введение иррациональных чисел. Непрерывность системы действительных чисел.
? 51. Теорема об ограниченных монотонных последовательностях. Точные границы ограниченного множества.
? 52. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
? 53. Метод конечного покрытия и метод деления промежутка.
? 54. Теорема Вейерштрасса о предельной точке ограниченного множества.
? 55. Теорема о равномерной непрерывности.
? 56. Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своих точных границ.
? 57. Замечания о теоремах существования.
? 58. Всюду плотные множества и их сечения.
? 59. Основная лемма.
? 60. Двойные последовательности и бесконечные десятичные дроби.
? 61. Основные операции в области действительных чисел.

Глава VII.
Степенная, показательная и логарифмическая функции.

? 62. Операция извлечения корня. Степенная функция.
? 63. Показательная функция.
? 64. Логарифмическая функция.
? 65. Общие теоремы о взаимнообратных функциях.
? 66. Замечания о многозначных операциях.
? 67. Функциональные уравнения, определяющие показательную, степенную и логарифмическую функции.
? 68. Теорема Абеля об ассоциативных операциях.
? 69. Натуральная показательная функция и натуральный логарифм.

Глава VIII.
Определение действительных чисел с помощью их рациональных приближений.

? 70. Постановка вопроса. Фундаментальное неравенство.
? 71. Теория e-приближений.
? 72. Операции над действительными числами, определенными системами e-приближений.

Глава IX.
Теория сходящихся последовательностей Кантора.

? 73. Критерий сходимости Кошии и его использование Кантором.
? 74. Связь с теорией e-приближений.
? 75. Критерий сходимости Коши с точки зрения теории Дедекинда.
? 76. Теория действительных чисел по Кантору.
? 77. Сечения в области рациональных чисел с точки зрения теории Кантора.
? 78. Непрерывность системы действительных чисел в формулировке Кантора.
? 79. Операции третьей ступени.
? 80. Мощность системы действительных чисел.

Глава X.
Комплексные числа.

? 81. Введение.
? 82. Комплексные числа как операторы.
? 83. Основные действия над комплексными числами.
? 84. Возвышение в степень и извлечение корня.
? 85. Координатная форма комплексного числа.
? 86. Действия над комплекснымичислами в координатной форме.
? 87. Теория пределов в комплексной области.
? 88. Показательная и логарифмическая функции.
? 89. Переход к теории пар.
? 90. Комплексные числа как пары действительных чисел.

Глава XI.
Геометрическая теория кватернионов.

? 91. Векторы-переходы в трехмерном пространстве.
? 92. Кватернионы как операторы.
? 93. Сложение кватернионов. Векторы-операторы.
? 94. Умножение кватернионов. Версоры.
? 95. Сферическая композиция.
? 96. Перемножение векторов-операторов.
? 97. Формулы умножения комплексных единиц i, j и k.
? 98. Основные законы действий в алгебре кватернионов.
? 99. Вращения вокруг осей в трехмерном пространстве.

Глава XII.
Числовые поля гиперкомплексных чисел.

? 100. Гиперкомплексные числа.
? 101. Теорема Фробениуса.

Глава XIII.
Делимость чисел. Разложение на простые множители.

? 102. Предмет теории чисел.
? 103. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель двух чисел.
? 104. Обобщения. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное нескольких чисел.
? 105. Линейные зависимости между числами, связанные с величинами наименьшего кратного и наибольшего делителя нескольких чисел.
? 106. Алгорифм Евклида.
? 107. Непрерывные дроби и их простейшие приложения. Решение неопределенных уравнений первой степени.
? 108. Разложение на первоначальные множители.
? 109. О простых числах.
? 110. Следствия теоремы о разложении на простые множители. Числовые функции [x] и f(х).

Глава XIV.
Теория сравнений.

? 111. Понятие о сравнении. Классы равноостаточных чисел по данному модулю.
? 112. Основные свойства сравнений. Операции сложения и умножения по данному модулю. Признаки делимости чисел.
? 113. Операция деления. Делители нуля. Приведенная система вычетов.
? 114. Решение сравнений первой степени.
? 115. Дроби по простому модулю.
? 116. Теоремы Ферма и Эйлера. Приложения к решению сравнений первой степени.
? 117. Теорема Вильсона.
? 118. О числе решений сравнений высших степеней.
? 119. Степенные вычеты. Первообразные корни простого модуля.
? 120. Теория индексов и ее приложения.
? 121. Приложения теории степенных вычетов к вопросам элементарной арифметики.

Предметный указатель.
Список литературы.

---

Список замеченных опечаток.

---

Загрузить (Mb) djvu (8.65) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)