Задачи и теоремы из анализа. Часть 1.

Ряды, интегральное исчисление, теория функций.

Джордж Пойа, Габор Сеге

М., Наука, 1978. 392 с.

Загрузить (Mb) djvu (3.51) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Перевод с немецкого Д.А.Райкова.

---

Содержание

От издательства.
Предисловие.
Обозначения и сокращения.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Глава 1.
Вычисления со степенными рядами.
§ 1 (1?31). Задачи из аддитивной теории чисел. Вопрос и ответ.
§ 2 (32?43). Биномиальные коэффициенты и прочее. Вопрос и ответ.
§ 3 (44?49). Дифференцирование степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 4 (50?60). Определение, коэффициентов при помощи функциональных уравнений. Вопрос и ответ.
§ 5 (61?64). Мажорантные ряды. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Преобразования рядов. Теорема Чезаро.
§ 1 (65?78). Преобразование последовательностей в последовательности в случае, когда в каждой строке схемы имеется только конечное число элементов, отличных от нуля. Вопрос и ответ.
§ 2 (79?82). Преобразование последовательностей в последовательности (общий случай). Вопрос и ответ.
§ 3 (83?97). Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Структура вещественных последовательностей и рядов.
§ 1 (98?112). Структура-бесконечных последовательностей. Вопрос и ответ.
§ 2 (113?116). Показатель сходимости. Вопрос и ответ.
§ 3 (117?123). Максимальный член степенного ряда. Вопрос и ответ.
§ 4 (124?132). Части рядов. Вопрос и ответ.
§ 5 (133?137). Перестановки членов вещественного ряда. Вопрос и ответ.
§ 6 (138?139). Распределение знаков членов ряда. Вопрос и ответ.

Глава 4.
Смешанные задачи.
§ 1 (140?155). Обвертывающие ряды. Вопрос и ответ.
§2 (156?185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Глава 1.
Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников.
§ 1 (1?7). Нижние и верхние суммы. Вопрос и ответ.
§ 2 (8?19). Степень приближения. Вопрос и ответ.
§ 3 (20?29). Несобственные, интегралы в конечных пределах. Вопрос и ответ.
§ 4 (30?40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах. Вопрос и ответ.
§ 5 (41?47). Теоретико-числовые применения. Вопрос и ответ.
§ 6 (48?59). Средние значения. Произведения. Вопрос и ответ.
§ 7 (60?68). Кратные интегралы. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Неравенства.
§ 1 (69?97). Неравенства. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Из теории функций действительного переменного.
§ 1 (98?111). Интегрируемость в собственном смысле. Вопрос и ответ.
§ 2 (112?118). Несобственные интегралы. Вопрос и ответ.
§ 3 (119?127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые функции. Вопрос и ответ.
§ 4 (128?146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса. Вопрос и ответ.

Глава 4.
Различные типы равномерного распределения.
§ 1 (147?161). Числовая функция. Регулярные последовательности. Вопрос и ответ.
§ 2 (162?165). Критерии равномерного распределения. Вопрос и ответ.
§ 3 (166?173). Распределение кратных иррационального числа. Вопрос и ответ.
§ 4 (174?184). Распределение цифр в таблице логарифмов и аналогичные задачи. Вопрос и ответ.
§ 5 (185?194). Другие типы равномерного распределения. Вопрос и ответ.

Глава 5.
Функции больших чисел.
§ 1 (195?209). Метод Лапласа. Вопрос и ответ.
§ 2 (210?217). Модификации метода Лапласа. Вопрос и ответ.
§ 3 (218?222). Асимптотическое вычисление некоторых максимумов. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
ОБЩАЯ. ЧАСТЬ.

Глава 1.
Комплексные числа и последовательности.
§ 1 (1?15). Области и кривые. Вычисления с комплексными числами. Вопрос и ответ.
§ 2 (16?27). Расположение корней алгебраических уравнений. Вопрос и ответ.
§ 3 (28?35). Продолжение: теорема Гаусса. Вопрос и ответ.
§ 4 (36?43). Комплексные числовые последовательности. Вопрос и ответ.
§ 5 (44?50). Продолжение: преобразования рядов. Вопрос и ответ.
§ 6 (51 ?54). Изменение порядка членов в комплексных рядах. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Отображения и векторные поля.
§1 (55?59). Дифференциальные уравнения Коши?Римана. Вопрос и ответ.
§ 2 (60?84). Специальные элементарные отображения. Вопрос и ответ.
§ 3 (85?102). Векторные поля. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Геометрическое поведение функции.
§ 1 (103?116). Отображение окружности Кривизна и опорные функции. Вопрос и ответ.
§ 2 (117?123). Средние значения вдоль окружности. Вопрос и ответ.
§ 3 (124?129). Отображение круга. Площадь области, получаемой при отображении. Вопрос и ответ.
§ 4 (130?144). Поверхность модуля. Принцип максимума. Вопрос и ответ.

Глава 4.
Интеграл Коши. Принцип аргумента.
§ 1 (145?171). Интеграл Коши. Вопрос и ответ.
§ 2 (172?178). Формулы Пуассона и Иенсена. Вопрос и ответ.
§ 3 (179?193). Принцип аргумента. Вопрос и ответ.
§ 4 (194?206). Теорема Рушэ. Вопрос и ответ.

Глава 5.
Последовательности аналитических функций.
§ 1 (207?229). Ряд Лагранжа и его применения. Вопрос и ответ.
§ 2 (230?240). Вещественная часть степенного ряда. Вопрос и ответ.
§ 3 (241?247). Полюсы на границе круга сходимости. Вопрос и ответ.
§ 4 (248?250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 5 (251?258). Распространение сходимости. Вопрос и ответ.
§ 6 (259?262). Сходимость в разделенных областях. Вопрос и ответ.
§ 7 (263?265). Порядок возрастания последовательностей полиномов. Вопрос и ответ.

Глава 6.
Принцип максимума.
§ 1 (266?279). Различные формулировки принципа максимума. Вопрос и ответ.
§ 2 (280?298). Лемма Шварца. Вопрос и ответ.
§ 3 (299?310). Теорема Адамара о трех кругах. Вопрос и ответ.
§ 4 (311?321). Гармонические функции. Вопрос и ответ.
§ 5 (322?340). Метод Фрагмена и Линделёфа. Вопрос и ответ.
Предметный указатель.

---

Загрузить (Mb) djvu (3.51) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)