Круг и шар.

Вильгельм Бляшке

М.: Наука, 1967. 232 с.
Тираж 140000 экз.

Загрузить (Mb) djvu (2.58) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

В книге прежде всего идет речь об изопериметрических свойствах круга (наименьшая длина кривой при заданной площади) и шара (наименьшая площадь при заданном объеме). Наряду с этим рассматриваются свойства выпуклых тел.

---

Содержание

От редакторов.
Предисловие автора ко второму изданию.

Первая часть. Минимальное свойство круга.
§ 1. Четырехшарнирный метод Штейнера.
§ 2. Вопрос существования.
§ 3. Площадь многоугольника.
§ 4. Применение четырехшарнирного метода к многоугольнику.
§ 5. Доказательство существования для многоугольника.
§ 6. Равносторонние многоугольники и тригонометрические выражения.
§ 7. Длина кривой.
§ 8. Приближение кривой многоугольниками.
§ 9. Функции ограниченной вариации.
§ 10. Площадь, охваченная замкнутой кривой.
§ 11. Решение изопериметрической задачи на плоскости.
§ 12. Приложения.
§ 13. О понятии интеграла.
§ 14. Исторические сведения; литература.

Вторая часть. Минимальное свойство шара.
§ 15. Основная идея доказательства, принадлежащая Штейнеру.
     I. Постановка задачи.
     II. Симметризация Штейнера.
     III. Критика доказательства Штейнера.
§ 16. Выпуклые тела и выпуклые функции.
     I. Выпуклые функции двух переменных.
     II. Задание выпуклого тела посредством неравенств.
     III. Выпуклые функции одной переменной.
     IV Опорные прямые. Опорные плоскости.
     V Выпуклая оболочка точечного множества. Выпуклые многогранники.
     VI. Опорная функция.
§ 17. Объем и площадь поверхности.
     I. Объем и площадь поверхности многогранника.
     II. Приближение многогранниками.
     III. Определение объема и площади поверхности произвольного выпуклого тела.
     IV. Сходящиеся последовательности выпуклых тел.
     V. Непрерывность объема и площади поверхности для выпуклых тел.
§ 18. Одно обобщение теоремы Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
     I. Теорема выбора для выпуклых тел.
     II. Диагональный процесс Кантора.
     III. Сходимость выбранной последовательности.
     IV. Совпадение с ранее данным определением сходимости.
     V. Другая форма определения сходимости.
§ 19. Симметризация Штейнера.
     I. Симметризация сходящихся последовательностей тел.
     II. Влияние симметризации на объем и площадь поверхности.
     III. Симметризация приближающих многогранников.
     IV Применение теоремы Гёльдера о среднем значении.
     V. Использование найденной оценки.
     VI. Неравенство Шварца.
     VII. Уменьшение плошади поверхности.
     VIII. Изопериметрическое свойство шара.
§ 20. Дополнительные замечания.
     I. Об ограничении одними лишь выпуклыми телами.
     II. О существовании двойного интеграла.
     III. Понятия выпуклого тела и выпуклой функции.

Третья часть. Теоремы Шварца, Брунна и Минковского о выпуклых телах.
§ 21. Симметризация Шварца и теоремы Брунна.
     I. Симметризация Шварца.
     II. Доказательство сходимости.
     III. О центре тяжести.
     IV. Теорема Г.Брунна.
     V. Теорема Г.А.Шварца.
§ 22. Теоремы Брунна и Минковского.
     I. Линейные семейства и выпуклые семейства выпуклых тел.
     II. Симметризация выпуклых семейств.
     III. Доказательство теоремы Брунна об объемах тел линейного семейства.
     IV. Симметризация линейных семёйств.
     V. Дополнение Минковского к теореме Брунна.
     VI. Неравенства Минковского.
     VII. О другом доказательстве неравенства М² − 4πO ≥ 0.
§ 23. Дополнения.
     I. Литература.
     II. Лемма Виртингера.
     III. Применение.
     IV. Перенесение леммы Виртингера в сферическую геометрию.
     V. Формула Минковского для площади поверхности.
     VI. Выпуклые функционалы.

Четвертая часть. Другие задачи об экстремумах для выпуклых тел.
§ 24. Наибольший шар, который может свободно перекатываться внутри выпуклой поверхности.
     I. О дифференциальной геометрии в целом.
     II. Наименьшая и наибольшая окружность кривизны выпуклой кривой.
     III. Факт, двойственный теореме Эйлера о кривизне поверхности.
     IV. Решение пространственной задачи.
§ 25. Ограничения для значений кривизны выпуклых поверхностей.
     I. Постановка вопроса и сведение к поверхностям вращения.
     II. Применение симметризации Шварца.
     III Инвариантнэсть диаметра.
     IV. Теорема Бибербаха.
     V. Поведение кривизны при симметризации.
     VI. Поведение кривизны при предельном переходе.
     VII. Подготовка к доказательству для поверхностей вращения.
     VIII. Веретенообразные поверхности вращения постоянной кривизны.
     IX. Результаты.
     X. Теорема Бонне.
§ 26. Другие ограничения кривизны.
     I. Постановка задачи и сведение к поверхностям вращения.
     II. Свойства операции скатывания.
     III. Дифференциальная геометрия опорной функции.
     IV. Поведение кривизны при скатывании.
     V. Сырообразная поверхность вращения постоянной кривизны.
     VI. Поведение средней кривизны при спаивании.

Добавление. Взгляд на дальнейшие исследования о выпуклых телах.
     I. Площадь проекции выпуклого тела.
     II. Периметры проекций выпукло о тела.
     III Тела постоянной ширины Минковского.
     IV. Тела постоянной яркости.
     V Интегральное задание центрально-симметричных выпуклых тел.
     VI. Формулы для центрально-симметричных овалондов.
     VII. Свойства, выделяющие эллипсоиды среди другил выпуклых поверхностей.
     VIII Найменьшее число вершин замкнутой выпуклой кривой.
     IX. Дальнейшие сведения о дифференциальной геометрии овалоидов.
Литература.
И. М. Яглом. Вильгельм Бляшке и его книга по теории выпуклых тел.
Именной указатель.
Предметный указатель.

---

Загрузить (Mb) djvu (2.58) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)