Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть 1.

Кристиан Феликс Клейн

Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР, 1937. 432 с.
Тираж 7000 экз.

Загрузить (Mb) djvu (11.88) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Содержание

М.Я.Выгодский. Феликс Клейн и его историческая работа.
Предисловие к немецкому изданию.
Введение.

Глава первая.
Гаусс.

Общие биографические сведения.

I. Прикладная математика.
Астрономия.
     Церера.
     Теория возмущений. Паллада.
     Общие результаты.
Геодезия.
     Съемки.
     Диференциальная геометрия.
Физика.
     Александр Гумбольдт.
     Вильгельм Вебер.
     Электродинамика Гаусса и Вебера.
     Земной магнетизм. Шаровые функции.
     Теория потенциала.
     Электродинамика.

II. Чистая математика.
Общий обзор.
Эллиптические функции и теория чисел.
     Числовые решетки и квадратичные формы.
     Эллиптические функции.
     Теория ступеней.
     Комплексное умножение.
     Модулярные формы и модулярные функции.
     Эллиптические интегралы и арифметически-геометрическое среднее.
Критика основ.
     Фундаментальная теорема алгебры.
     Основы геометрии.
Роль Гаусса в истории науки.

Глава вторая.
Франция и Политехническая школа в первые десятилетия XIX века.

Возникновение и организация школы.

I. Механика и математическая физика.
Пуассон.
Фурье.
Коши.
     Биографические данные.
     Работы Коши. Оптика и теория упругости.
Сади Карно.
Понселе. Кориолис.

II. Геометрия.
Монж.
Школа Монжа.
     Дюпен.
     Карно-старший.
     Понселе.

III. Анализ и алгебра.
Коши.
     Обоснование анализа.
     Диференциальные уравнения.
     Функции комплексного переменного.
Упадок математической жизни во Франции.
     Галуа.
     Теория Галуа.

Глава третья.
Основание журнала Крелля и расцвет чистой математики в Германии.

Попытка создания Политехнической шкоды в Берлине. Крелль.

I. Аналитики из журнала Крелля.
Дирихле.
     Теория чисел. Анализ.
     Механика и математическая физика.
Абель.
     Теорема Абеля.
     Соревнование с Якоби.
Якоби.
     Эллиптические функции. Тэта-функции.
     Кенигсбергская школа.

II. Геометры и журнала Крелля.
Характеристика направлений.
Мебиус.
Плюкер.
     Физика.
     Геометрия.
     Однородные координаты, произвольный элемент пространства.
     Формулы Плюкера.
Штейнер.
     Идея проективного образования.
     Изопериметрическая задача.

Глава четвертая.
Развитие алгебраической геометрии после Мебиуса, Плюкера и Штейнера.

Введение.

I. Создание чисто проективной геометрии.
Штаудт.
     Определение общих проективных координат.
     Интерпретация мнимых чисел в проективной геометриии.
Шаль и его школа.
     Исторические интересы.
     Построение учения о сферической окружности.
     Пример. Конфокальные поверхности второго порядка.
Кели.
     Общее проективное мероопределение.
     Проективное обоснование системы геометрии. Неевклидова геометрия. Клейн. Бельтрами. Клиффорд.

II. Параллельное развитие алгебры. Теория инвариантов.
Зарождение теории и основные линии развития.
     Якоби.
     Гессе.
     Пример. Точки перегиба Плоской кривой n-ого порядка.
     Кели и Сильвестр.
     Сальмон.
     Заключительные замечания а теории форм.
Отдельные интересные задачи.

III. Пространство n-измерений и обобщенные комплексные числа.
Противодействие и недоразумения.
     Спириты.
Построение и применение теории. Лaгpaнж, Koши, Кели.
     Плюкер.
     Риман.
Грассман.
     Учение о протяженности.
     Аксиоматика арифметики. Высшие комплейсные числа.
     Специальные исследования.
          Проблема Пфаффа.
          Линейные построения.
     Грассманианцы.
Гамильтон.
     Кватернионы. Интерпретация их как вращательного растяжения пространства.
     Критика. Исчисление матриц Кели.

Гава пятая.
Механика и математическая физика в Германии н Англии до 1880 года.

I. Механика.
Экскурс в классическую механику.
Работы Гамильтона по оптике и механике.
     Системы лучей.
     Коническая рефракция.
Характеристические функции и принципы варьирующего действия.
     Оптика.
     Судьба работ Гамильтона на континенте.
     Система лучей Куммера.
     Механика.
     Канонические диференциальные уравнения.
Работы Якоби по механике.
     Канонические переменные. Ведущая функция.
     Методы интегрирования канонических диференциальных уравнений.
Рут.
     Об английской системе преподавания.
     Циклические системы.
     Кинетическая теория материи.
     Приложение: экскурс в механическую теорию теплоты.

II. Математическая физика.
Франц Нейман и Кенигсбергская школа.
     Кристаллография, оптика и электродинамика Неймана.
Кирхгоф.
     Спектроскопия, механика и теория теплового излучения.
Развитие математической физики в Берлине.
     Берлинское физическое общество.
     Гельмгольц.
     Натурфилософия. Теорема о сохранении энергии.
     Гидродинамика. Теория вихрей.
Развитие физики в Англии.
     Грин. Мак Келлох.
     Стокс. В.Томсон.
     Метод электрических изображений и термодинамика.
     Геофизика и мореходное дело.
     Вихревая теория материи.
     Приложение: "Трактат" Томсон-Тэта.
Максвелл.
     Электромагнитная теория света.
     Отношение к механике. Гиббс.
     Связь с уравнениями Мак Кедлоха.
     Характеристика Максвелла.

Глава шестая.
Общая теория функций комплексного переменного у Римана и Вейерштрасса.

I. Бернгард Риман.
Общий обзор его деятельности.
Основные идеи римановой теории функций.
     Понятие аналитической функции.
     Идея римановой поверхности.
     Связь с математической физикой.
Методы доказательства — принцип Дирихле.
     Принцип Дирихле у Римана.
     Критика Вейерштрасса.
     Шварц и новое обоснование принципа.
     Клейн. Гильберт.
Теория линейных диференциальных уравнений n-го порядка.
     Группа монодромии.
     Гипергеометрический ряд.
     Фукс.
     Проблема Римана.
Распространение идей Римана.
     Гиперэллиптический и ультраэллиптический случай.
     Нейман Клебш.
     Казорати. Дедекинд. Вебор. Неттер. Виртингер.
     Клейн. Пуанкаре.
     Заключительные замечания.

II. Карл Вейерштрасс.
Общий обзор его деятельности.
     Якоби и Гудерман.
Функции Аl и σ.
Общая программа Вейерштрасса до 1854 г.
     Лекции Вейерштрасса. Построение теории.
Основные идеи теории функции Вейерштрасса.
     Теория эллиптических функций.
     Включение в теорию ступеней.
     Эйзенштейн. Гаусс.
Распространение идей Вейерштрасса.
     Эрмит.
     Абелевы функций.
     Софья Ковалевская.

Глава седьмая.
Исследование природы алгебраических многообразии с более глубокой точки зрения.

I. Дальнейшее развитие алгебраической геометрии.
Теория плоских алгебраических кривых.
     Влияние Римана.
     Клебш и его школа.
     Случай плоской кривой С₃ и теорема Абеля.
     Бирациональное преобгазование кривых.
     Случай произвольной кривой С_n.
     Однородные переменные.
     Клебш и Гордан. Брилль и Нетер.
     Теорема Римана–Роша.
     Нормальная кривая.
     Дальнейшее развитие теории абелевых функций.
Теория алгебраических кривых в пространство и алгебраических поверхностей.
     Кривые на однополостном гиперболоиде.

II. Теория целых алгебраических чисел и связь ее с теорией алгебрагпеских функций.
Начала теории. Куммер.
Обобщения Кронекера и Дедекинда. Идеалы.
Аналогия с теорией функций. Дедекинд. Вебер. Вейерштрасс.
Дальнейшие судьбы теории. Дедекинд-Вебер. Гурвиц. Гильберт. Минковский.
Теория алгебраических форм Гильберта.
Теория чисел Гильберта. Экскурс в теорию Галуа.

Глава восьмая.
Теория групп и теория функций. Автоморфные функции.

I. Теория групп.
Основные понятия.
Исторический обзор. Группы перестановок и теория уравнений.
Лагранж. Галуа. Жордан.
Конечные группы линейных подстановок. Правильные многогранники.
Дальнейшее развитие неследований. Применения к кристаллографии.

II. Автоморфные функции.
Теория групп и теория функций.
     Связь с теорией групп и линейными диференциалышми уравнениями второго порядка.
     Экскурс о гипергеометрическом ряде.
     Переход к группам линейных подстановок.
     Конформное отображение и принцип симметрии.
     Связь с правильными многогранниками.
Икосаэдр.
     Решение уравнения пятой степени.
Эллиптические модулярные функции.
Исторический обзор.
     Гаусс. Риман.
     Абель. Якоби. Эрмит.
Преобразования эллиптических функций. Галуа. Эрмит.
     Общая программа.
Главная конгруэнция пятой и седьмой ступеней.
Центральная теорема об автоморфных функциях.
Пуанкаре.

Именной указатель.

---

Загрузить (Mb) djvu (11.88) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)