Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 1.

Арифметика, алгебра, анализ.

Кристиан Феликс Клейн

М.: Наука, 1987. 431 с.

Загрузить (Mb) djvu (5.26) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

В этой книге читатель найдет красивый этюд о пифагоровых числах и великой теореме Ферма, изящное изложение теории деления окружности, рассказ о кватернионах, прозрачно изложенную гауссову идею доказательства основной теоремы алгебры, доказательство трансцендентности чисел e и p, много крайне интересных подробностей из истории математики и ряд других вопросов.

Школьный преподаватель математики хорошо разбирается в вопросах методики преподавания своего предмета, но, как правило, судит об этих вопросах на уровне школьной программы и наличия межпредметных связей с другими, но именно школьными, предметами. Помочь ему подняться над этим уровнем, взглянуть на школьную математику с высоты научных и прикладных интересов - искреннее желание автора.

---

Содержание

Предисловие редактора.
Введение.

АРИФМЕТИКА.

I. Действия над натуральными числами.
     1. Введение чисел в школе.
     2. Основные законы арифметических действий.
     3. Логические основы теории целых чисел.
     4. Практика счета с целыми числами.
II. Первое расширение понятия числа.
     1. Отрицательные числа.
     2. Дроби.
     3. Иррациональные числа.
III. Особые свойства целых чисел.
     1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании.
     2. Простые числа и разложение на множители.
     3. Обращение простых дробей в десятичные.
     4. Непрерывные дроби.
     5. Великая теорема Ферма.
     6. Задача о делении окружности на равные части.
     7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой.
IV. Комплексные числа.
     1. Обыкновенные комплексные числа.
     2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы.
     3. Умножение кватернионов и преобразование поворотноо растяжения в пространстве.
     4. Комплексные числа в преподавании.
V. Современное развитие и строение математики вообще.
     1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ.
     2. Краткий обзор истории математики.

АЛГЕБРА.

Введение.

I. Уравнения с действительными неизвестными.
     1. Уравнения, содержащие один параметр.
     2. Уравнения с двумя параметрами.
     3. Уравнения с тремя параметрами.
II. Уравнения в области комплексных чисел.
          A. Основная теорема алгебры.
          B. Уравнения с одним комплексным параметром.
     1. Двучленное уравнение zⁿ=ω.
     2. Уравнение диэдра.
     3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра.
     4. Продолжение; вывод уравнений.
     5. О решении нормальных уравнений.
     6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций.
     7. Разрашимость в радикалах.
     8. Сведение общих уравнений к нормальным.

АНАЛИЗ.

I. Логарифм и показательная функция.
     1. Систематика алгебраического анализа.
     2. Историческое развитие учения о логарифме.
     3. Некоторые замечания о школьном преподавании.
     4. Точка зрения современной теории функций.
II. О тригонометрических функциях.
     1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме.
     2. Тригонометрические таблицы.
     3. Применения тригонометрических функций.
III. Исчисление бескноечно малых в собстевнном смысле слова.
     1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых.
     2. Теорема Тейлора.
     3. Замечания исторического и педагогического характера.

ПРИЛОЖЕНИЯ.

I. Трансцендентность чисел e и π.
     1. Исторические замечания.
     2. Доказательство трансцендентности числа e.
     3. Доказательство трансцендентности числа π.
     4. Трансцендентные и алгебраические числа.
II. Учение о множествах.
     1. Мощность множества.
     2. Порядок элементов множества.
     3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе.

ПРИМЕЧАНИЯ.

Арифметика.
Алгебра.
Анализ.

Именной указатель.
Предметный указатель.

---

Загрузить (Mb) djvu (5.26) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)