Курс анализа.

Шарль Эрмит

Гл. ред. общетехнической литературы, 1936. 383 с.

Загрузить (Mb) djvu (4.35) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Содержание

Первая лекция. Определение площади, ограниченной отрезком, и длины дуги плоской кривой. Площади эллипса, гиперболы, уникурсальных кривых, циклоиды

Вторая лекция.
Выражение площади, ограниченной кривой третьего порядка, через эллиптические интегралы. Подстановка, уничтожающая нечетные степени в полиноме четвертой степени. Площадь эллипса в полярных координатах и замечание относительно замены переменных в определенных интегралах.

Третья лекция.
Спрямление параболы, эллипса и гиперболы. Теоремы Фаньяно, Грэвса и Шаля о дугах эллипса со спрямляемой разностью. Приведение к каноническому виду интегралов ∫ f(x)/(ax⁴ + bx² + c) dx; примеры приведения их к интегралам от рациональных функций; теорема Ландена.

Четвертая лекция.
Гиперэллиптические интегралы, приведение их к интегралам первого, второго и третьего рода. Приложение к спрямлению уникурсальных кривых.

Пятая лекция.
Определение объема цилиндра, ограниченного плоскостью прямого сечения и некоторой поверхностью, и площади кривой поверхности. Аналитическое понятие двойного интеграла ∫∫ f(x,y) dx dy, соответствующего замкнутой кривой F(х,у) = 0. Объем эллипсоида; объемы тел вращения и площадь поверхностей вращения. Приложения. Двойные интегралы, взятые между постоянными пределами, приближенное вычисление их; двойные интегралы вида ∫ dx ∫Df(x,y) dy; простые интегралы по кривой, Объемы, площади кривых поверхностей, двойные интегралы.

Шестая лекция.
Геометрическое представление мнимой переменной; ее значение при изучении функций. Теорема об изменении аргумента бинома первой степени и полинома, когда переменная описывает замкнутый контур. Краткое исследование квадратного корня полинома. Однозначные и неоднозначные. функции. Изучение функции lg(z − а). игровыеавтоматы.онлайн/kazino-vulkan-onlain/

Седьмая лекция.
Интегралы с вещественными пределами от мнимых функций. Выражения Дарбу и Вейерштрасса для интеграла ∫_a^b F(x)[φ(x) + iψ(x)] dx, когда F(x) сохраняет постоянный знак в пределах интегрирования. Определение Коши интеграла, взятого в некоторых границах, вещественных или мнимых; выражения, вытекающие из этого определения.

Восьмая лекция.
Влияние пути, описываемого переменной, в интеграле Коши. Метод Римана, основанный на теореме Грина. Доказательство теоремы Неймана и понятие о площадях, ограниченных несколькими контурами. Интеграл непрерывной и однозначной функции на заданной площадке, взятый по контуру, ограничивающему эту площадку, равен нулю. Пример на вычисление интегралов, взятых по замкнутому контуру. Формула Коши: f(x) = (1/2πi)∫ (f(z)/(z − x)) dx, где интеграл берется по замкнутому контуру, внутри которого функция f(x) голоморфна.

Девятая лекция.
Ряды Тейлора и Маклорена, выведенные из выражения функций f(x) по формуле Коши. Приложение к однозначным функциям e^x, sin(x), cos(x); элементарное доказательство иррациональности целых степеней и отношения окружности к диаметру. Приложение к неоднозначным функциям arctg(x), ln(f + x); существование линии разрыва у этих функций. Интеграл Коши приводит к понятию разрезов; он дает аналитическое выражение функции, совпадающей на определенных площадках с произвольно заданными функциями и равной нулю вне этих площадок.

Десятая лекция.
Теорема Лорана; аналитическое выражение означенных функций, к которым она приводит. Исследование голоморфных функций; основные свойства; доказательство теоремы Вейерштрасса о разложении их на первичные множители, по методу Миттаг-Леффлера. Приложение к sin πх, разложение на множители, выявление периодичности функции. О роде голоморфных функций по Лагерру.

Одиннадцатая лекция.
Приложение теоремы Неймана о голоморфных функциях к доказательству равенства
∫₀¹∫₀¹ 1/[(1 − k²x²y²)√(1 − x²)(1 − y²)] dx dy = (π/2)∫₀¹1/[√(1 − x²)(1 − k²x²)] dx.
Исследование не голоморфных однозначных функций, когда они имеют разрывы только в конечных изолированных точках. Выражение их в явном виде на ограниченной части плоскости. Понятие о полюсах и особых точках. Выражение функций на всей плоскости по теореме Миттаг-Леффлера. Другой вид для случая, когда существуют только полярные разрывы.

Двенадцатая лекция.
Приложение теоремы Миттаг-Леффлера к функции ctgx; выражения sin(x + ξ)/sin(&xi); и cos(x + ξ)/cos(&xi); в виде произведения первичных множителей. Определение чисел Бернулли. Доказательство по методу Пикара теоремы Римана: две однозначных функции, совпадающие вдоль линии конечной длины, тождественны. Доказательство теоремы Коши об интеграле от однозначной функции, взятом вдоль замкнутого контура. Определение вычетов и приложение теоремы о них.

Тринадцатая лекция.
Приложения теоремы Коши. Интегралы от рациональных дробей в пределах −∞ до +∞. Выражения полиномов Лежандра через определенные интегралы. Теорема Виллиса. Нахождение интегралов
∫₀^∞e^−x2 dx и ∫_−∞^∞[e^ax - e^(1-a)x]/[1-e^x] dx
и т.д. Разложение на простые элементы рациональных функций sin(x), cos(x) и т.д.

Четырнадцатая лекция.
Определение и основные свойства эйлеровых интегралов первого и второго рода. Нахождение интеграла Раабе по методу Лерха. Приближенное выражение ln Γ(а), когда переменная имеет очень большое положительное значение формулой ln Γ(a) = (а − ½)ln(a) − а + ln √(2π) + J. Формула Эйлера разложения J в ряд; выражения остатка ряда, данные Коши и Шааром. Определение по методу Лимбурга числа членов ряда Эйлера для наилучшего приближения.

Пятнадцатая лекция.
Интеграл Эйлера второго рода, рассматриваемый как однозначная функция по всей плоскости. Выражение Прима. Определение Гаусса. Основные свойства, вытекающие из рассмотрения второй производной от ln Г (а). Приложения теоремы Миттаг-Леффлера к функциям [Г(х)Г(а)]/Г(х + а), [Г(х + а)Г(х + b)...Г(х + l)]/Г(х + а')Г(х + b')...Г(х + l'), Г(x)/[Г(х + a)Г(х + b)].

Шестнадцатая лекция.
Изучение интегралов
∫_α^β1/[z − a − ib + t] dt и ∫_a^bF(t,z)/G(t,z) dz
их разрезы. Примеры на нахождение определенных интегралов помощью исследования разрезов. Распространение понятия интеграла от однозначной функции ∫_x0^xf(u) du, взятого между вещественными границами, на мнимые значения этих границ приводит к функции, имеющей разрезами пучок прямых.

Семнадцатая лекция.
Исследование двойного интеграла
∫∫f(x,y)/[g(x,y) − z] dx dy,
взятого по данной площадке, по методу Лагерра и разрез этого интеграла. Ряд Таннери, имеющий разрезом окружность с центром в начале и ради- усом, равным единице. Аналогичные и большой обобщенности результаты, полученные Аппелем; разложения в ряд на площадке, ограниченной дугами круга. Пример, данный Пуанкарэ, функции, определенной на всей плоскости за исключением некоторой области.

Восемнадцатая лекция.
Выражение числа корней уравнения внутри замкнутого контура определенным интегралом. Выражение корня и некоторой функции корня, единственного внутри контура. Исследование интеграла ∫_a^bf'(t)/[1 + f²] dt где f(t) мероморфная функция; теорема Коши относительно числа корней уравнения, заключающихся внутри замкнутого контура. Алгорифм, аналогичный теореме Штурма, для определения числа корней в случае алгебраических уравнений, когда контур задан уникурсальной кривой.

Девятнадцатая лекция.
Ряд Лагранжа. Приложения к уравнению Кеплера. Изложение метода Лапласа для изучения условия сходимости. Приложение к разложению (1 − 2αx + α²)^−½. Краткое указание на свойства полиномов Лежандра. Теорема Эйзенштейна относительно рядов, выводимых из алгебраического уравнения, коэфициенты которого соизмеримы. Формулировка теоремы Чебышева относительно рядов с соизмеримыми коэфициентами, когда они представляют явную функцию переменной.

Двадцатая лекция.
Различные значения интеграла от однозначной функции, имевшей разрывы, в зависимости от пути измерения переменной. Приложение к ∫₁^z1/z dz. Как многие значения функции приводят вообще к полной неопределенности. Теорема Чебышева относительно последовательных минимумов выражения х?ау?α при целых значениях х и у. Преобразование Римана интегралов со многими значениями в однозначные функции, имеющие разрезы. Аналогичное преобразование квадратного корня из полинома в однозначную функцию.

Двадцать первая лекция.
Исследование интеграла ∫_z0^z[f(z)/√R(z)] dz; различные его значения; случай, когда R(z) четвертой степени. Определенные интегралы
K = ∫₀¹1/[√(1 − x²)(1 − k²x²)] dx; K' = ∫₀¹1/[√(1 − x²)(1 − k'²x²)] dx;
рассматриваемые как функции от модуля, по Лагерру и Гурса; теорема Фукса.

Двадцать вторая лекция.
Теория эллиптических функций. Определение параллелограмма периодов. Нахождение выражения двоякопериодических функций в виде частного двух голоморфных функций. Разложение на простые элементы и общие свойства.

Двадцать третья лекция.
Двоякопериодические функции второго рода; аналитическое выражение их, когда они имеют только полярные разрывы. Разложение на простые элементы и общие свойства.

Двадцать четвертая лекция. Определение и основные свойства функций Якоби θ(х), Н(х), θ₁(x), Н₁(x). Определение и основные свойства sn(x), сn(х), dn(x). Обращение эллиптического интеграла ∫₀^x1/[√(1 − x²)(1 − k²x²)] dx; в предположении, что k вещественно и меньше единицы. Сложение аргументов; количества J и J'. Вывод соотношения θ₁(x) = 2k/√π.

Двадцать пятая лекция.
Бесконечное число форм функций θ(х), Н(х), θ₁(x), Н₁(x). Выражеиия sn(x), сn(х), dn(x) при замене К и iK' на L = aK + ibK' и iL' = cK + idK'. причем а, b, с, d — целые и ad ? bс = 1, а ≡ d ≡ 1 и b ≡ c ≡ 0 (mod 2). Доказательство теоремы Римана о вещественной части K/K', когда модуль мнимый. Обращение эллиптического интеграла ∫₀^x1/[√(1 − x²)(1 − k²x²)] dx, причем модуль k имеет любое вещественное или мнимое значение. Приложение теоремы Миттаг-Леффлера к функциям sn(х), сn(х), dn(х).

Добавления
I. О преобразовании эллиптических функций. Преобразование первого порядка; характерное свойство функции. Два метода для общего случая, из которых первый основан на разложении на простые элементы, а другой на исследовании функций θ(х), Н(х), Н'(х).
II. Дифференцирование sn(х), сn(х), dn(х) по модулю.
III. Доказательство соотношения Гаусса F(a,b,c,1) = [Г(c)Г(c − a − b)]/[Г(c − a)Г(c − b)]. Приложения.

---

Загрузить (Mb) djvu (4.35) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)