 |
  |
 |
| Полный список |
 |
|
| Поиск |
|
|
| О форматах и правах |
|
|
| Обратная связь |
|
|
| Благодарности |
|
Что такое математика?
Элементарный очерк идей и методов.
М.: МЦНМО, 2001. 568 с.
ISBN 5?900916?45?6; Тираж 3000 экз.
| |||||||||||
Книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.
Содержание
Предисловие к изданию на русском языке
К русскому читателю
Предисловие
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Глава I. Натуральные числа
Введение
? 1. Операции над целыми числами
1. Законы арифметики.
2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация).
3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
? 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая ин-
дукция
1. Принцип математической индукции.
2. Арифметическая прогрессия.
3. Геометрическая прогрессия.
4. Сумма n первых квадратов.
*5. Одно важное неравенство.
*6. Биномиальная теорема.
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I. Теория чисел
Введение
? 1. Простые числа
1. Основные факты.
2. Распределение простых чисел.
а. Формулы, дающие простые числа.
б. Простые числа в арифметических прогрессиях.
в. Теорема о распределении простых чисел.
г. Две еще не решенные задачи о простых числах.
? 2. Сравнения
1. Общие понятия.
2. Теорема Ферма.
3. Квадратические вычеты.
? 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма
? 4. Алгоритм Евклида
1. Общая теория.
2. Применение к основной теореме арифметики.
3. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма.
4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Глава II. Математическая числовая система
Введение
? 1. Рациональные числа
1. Рациональные числа как средство измерения.
2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения.
3. Геометрическое представление рациональных чисел.
? 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
1. Введение.
2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные.
3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии.
4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби.
5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся
отрезков.
*6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.
? 3. Замечания из области аналитической геометрии
1. Основной принцип.
2. Уравнения прямых и кривых линий.
? 4. Математический анализ бесконечного
1. Основные понятия.
2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. ?Кардинальные числа? Кантора.
4. Косвенный метод доказательства.
5. Парадоксы бесконечного.
6. Основания математики.
? 5. Комплексные числа
1. Возникновение комплексных чисел.
2. Геометрическое представление комплексных чисел.
3. Формула Муавра и корни из единицы.
*4. Основная теорема алгебры.
? 6. Алгебраические и трансцендентные числа
1. Определение и вопросы существования.
**2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
1. Общая теория.
2. Применение к математической логике.
3. Одно из применений к теории вероятностей.
Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Введение
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра
? 1. Основные геометрические построения
1. Построение полей и извлечение квадратных корней.
2. Правильные многоугольники.
3. Проблема Аполлония.
? 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля
1. Общая теория.
2. Все числа, допускающие построение ? алгебраические.
? 3. Неразрешимость трех классических проблем
1. Удвоение куба.
2. Одна теорема о кубических уравнениях.
3. Трисекция угла.
4. Правильный семиугольник.
5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений
? 4. Геометрические преобразования. Инверсия
1. Общие замечания.
2. Свойства инверсии.
3. Геометрическое построение обратных точек.
4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.
? 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба.
2. Построения с помощью одного циркуля.
3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические
кривые. Циклоиды.
*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
? 6. Еще об инверсии и ее применениях
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей.
2. Применение к проблеме Аполлония.
3. Повторные отражения.
Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
? 1. Введение
1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при
преобразованиях.
2. Проективные преобразования.
? 2. Основные понятия
1. Группа проективных преобразований.
2. Теорема Дезарга.
? 3. Двойное отношение
1. Определение и доказательство инвариантности.
2. Применение к полному четырехстороннику.
? 4. Параллельность и бесконечность
1. ?Идеальные? бесконечно удаленные точки.
2. Идеальные элементы и проектирование.
3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
? 5. Применения
1. Предварительные замечания.
2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга.
3. Теорема Паскаля.
4. Теорема Брианшона.
5. Замечание по поводу двойственности.
? 6. Аналитическое представление
1. Вводные замечания.
*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
? 7. Задачи на построение с помощью одной линейки
? 8. Конические сечения и квадрики
1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений.
2. Проективные свойства конических сечений.
3. Конические сечения как ?линейчатые кривые?.
4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений.
5. Гиперболоид.
? 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия
1. Аксиоматический метод.
2. Гиперболическая неевклидова геометрия.
3. Геометрия и реальность.
4. Модель Пуанкаре.
5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
1. Введение.
2. Аналитический подход.
*3. Геометрический, или комбинаторный, подход.
Глава V. Топология
Введение
? 1. Формула Эйлера для многогранников
? 2. Топологические свойства фигур
1. Топологические свойства.
2. Свойства связности.
? 3. Другие примеры топологических теорем
1. Теорема Жордана о замкнутой кривой.
2. Проблема четырех красок.
*3. Понятие размерности.
4. Теорема о неподвижной точке.
5. Узлы.
? 4. Топологическая классификация поверхностей
1. Род поверхности.
*2. Эйлерова характеристика поверхности.
3. Односторонние поверхности.
Приложение.
*1. Проблема пяти красок.
2. Теорема Жордана для случая многоугольников.
*3. Основная теорема алгебры.
Глава VI. Функции и пределы
Введение
? 1. Независимое переменное и функция
1. Определения и примеры.
2. Радианная мера углов.
3. График функции. Обратные функции.
4. Сложные функции.
5. Непрерывность.
*6. Функции нескольких переменных.
*7. Функции и преобразования.
? 2. Пределы
1. Предел последовательности an .
2. Монотонные последовательности.
3. Число Эйлера e.
4. Число 
.
*5. Непрерывные дроби.
? 3. Пределы при непрерывном приближении
1. Введение. Общие определения.
2. Замечания по поводу понятия предела.
3. Предел 
.
4. Пределы при 
.
? 4. Точное определение непрерывности
? 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях
1. Теорема Больцано.
*2. Доказательство теоремы Больцано.
3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.
*4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.
? 6. Некоторые применения теоремы Больцано
1. Геометрические применения.
*2. Применение к одной механической проблеме.
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
? 1. Примеры пределов
1. Общие замечания.
2. Предел qn.
3. Предел 
.
4. Разрывные функции как предел непрерывных.
*5. Пределы при итерации.
? 2. Пример, относящийся к непрерывности
Глава VII. Максимумы и минимумы
Введение
? 1. Задачи из области элементарной геометрии
1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах.
2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей.
3. Применения к задачам о треугольниках.
4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные
свойства.
*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
? 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
1. Принцип.
2. Примеры.
? 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление
1. Экстремальные и стационарные точки.
2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки.
3. Точки минимакса и топология.
4. Расстояние точки от поверхности.
? 4. Треугольник Шварца
1. Доказательство, предложенное Шварцем.
2. Другое доказательство.
3. Тупоугольные треугольники.
4. Треугольники, образованные световыми лучами.
*5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
? 5. Проблема Штейнера
1. Проблема и ее решение.
2. Анализ возникающих возможностей.
3. Дополнительная проблема.
4. Замечания и упражнения.
5. Обобщение: проблема уличной сети.
? 6. Экстремумы и неравенства
1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных.
3. Метод наименьших квадратов.
? 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле
1. Общие замечания.
2. Примеры.
3. Экстремальные проблемы элементарного содержания.
4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
? 8. Изопериметрическая проблема
*? 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
? 10. Вариационное исчисление
1. Введение.
2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.
4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
? 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками
1. Введение.
2. Опыты с мыльными пленками.
3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато.
4. Экспериментальные решения других математических проблем.
Глава VIII. Математический анализ
Введение
? 1. Интеграл
1. Площадь как предел.
2. Интеграл.
3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение.
4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr.
5. Правила ?интегрального исчисления?.
? 2. Производная
1. Производная как наклон.
2. Производная как предел.
3. Примеры.
4. Производные от тригонометрических функций.
*5. Дифференцируемость и непрерывность.
6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение.
7. Геометрический смысл второй производной.
8. Максимумы и минимумы.
? 3. Техника дифференцирования
? 4. Обозначения Лейбница и ?бесконечно малые?
? 5. Основная теорема анализа
1. Основная теорема.
2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x.
3. Формула Лейбница для 
.
? 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e.
2. Показательная (экспоненциальная) функция.
3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs.
4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов.
5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
? 7. Дифференциальные уравнения
1. Определения.
2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
3. Другие примеры. Простые колебания.
4. Закон движения Ньютона.
Дополнение к главе VIII.
? 1. Вопросы принципиального порядка
1. Дифференцируемость.
2. Интеграл.
3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
? 2. Порядки возрастания
1. Показательная функция и степени переменного x.
2. Порядок возрастания функции ln(n!).
? 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения
1. Бесконечные ряды функций.
2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix.
3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
*?4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения
Арифметика и алгебра
Аналитическая геометрия
Геометрические построения
Проективная и неевклидова геометрия
Топология
Функции, пределы, непрерывность
Максимумы и минимумы
Дифференциальное и интегральное исчисления
Техника интегрирования
Добавление 1. Вклейка ?От издательства? в первое издание книги на русском языке
Добавление 2. О создании книги ?Что такое математика??
Рекомендуемая литература
Предметный указатель
| |||||||||||
|
| Арифметика |
|
|
| Теория чисел |
|
|
| Алгебра |
|
|
| Геометрия |
|
|
| Топология |
|
|
| Анализ |
|
|
| Дискретная математика |
|
|
| Теория вероятностей |
|
|
| Физика |
|
|
| История науки |
|
|
| Квант |
|
| Вестник... |
|
| Математическое просвещение |
|
| Математика в школе |
|