Многочлены.

Виктор Васильевич Прасолов

М.: МЦНМО, 2003. 336 с.
ISBN 5-94057-077-1

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (3.01) ps (-) html (-) tex (-)

В книге изложены основные результаты исследований по теории многочленов, как классическое, так и современное. Большое внимание уделено 17-й проблеме Гильберта о представлении неотрицательных многочленов суммами квадратов рациональных функций и ее обобщениям. Теория Галуа обсуждается прежде всего с точки зрения теории многочленов, а не с точки зрения общей теории расширения полей.

Для студентов, аспирантов, научных работников - математиков и физиков.

---

Содержание

Предисловие к первому изданию

ГЛАВА 1. Корни многочленов

1. Неравенства для корней
    1.1. Основная теорема алгебры
    1.2. Теорема Коши
    1.3. Теорема Лагерра
    1.4. Аполярные многочлены
    1.5. Проблема Рауса - Гурвица

2. Корни многочлена и его производной
    2.1. Теорема Гаусса-Люка
    2.2. Корни производной и фокусы эллипса
    2.3. Локализация корней производной
    2.4. Гипотеза Сендова-Илиева
    2.5. Многочлены, у которых совпадают корни их самих и их производных

3. Результант и дискриминант
    3.1. Результант
    3.2. Дискриминант
    3.3. Вычисление некоторых результантов и дискриминантов

4. Разделение корней
    4.1. Теорема Фурье-Бюдана
    4.2. Теорема Штурма
    4.3. Теорема Сильвестра
    4.4. Разделение комплексных корней

5. Ряд Лагранжа и оценки корней многочлена
    5.1. Ряд Лагранжа-Бюрмана
    5.2. Ряд Лагранжа и оценки корней

ГЛАВА 2. Неприводимые многочлены

6. Основные свойства неприводимых многочленов
    6.1. Разложение многочленов на неприводимые
    6.2. Признак Эйзенштейна
    6.3. Неприводимость по модулю р

7. Признаки неприводимости
    7.1. Признак Дюма
    7.2. Многочлены с доминирующим коэффициентом
    7.3. Неприводимость многочленов, принимающих малые значения

8. Неприводимость трехчленов и четырехчленов
    8.1. Неприводимость многочленов xⁿ±x^m±x^p±1
    8.2. Неприводимость некоторых триномов

9. Теорема неприводимости Гильберта

10. Алгоритмы разложения на неприводимые множители
    10.1. Алгоритм Берлекэмпа
    10.2. Факторизация с помощью леммы Гензеля

ГЛАВА 3. Многочлены специального вида

11. Симметрические многочлены
    11.1. Примеры симметрических многочленов
    11.2. Основная теорема о симметрических многочленах
    11.3. Неравенства Мюрхеда
    11.4. Функции Шура

12. Целозначные многочлены
    12.1. Базис целозначных многочленов
    12.2. Целозначные многочлены от многих переменных
    12.3. q-аналог целозначных многочленов

13. Круговые многочлены
    13.1. Основные свойства круговых многочленов
    13.2. Формула обращения Мёбиуса
    13.3. Неприводимость круговых многочленов
    13.4. Выражение Ф_mn через Ф_n
    13.5. Дискриминант кругового многочлена
    13.6. Результант пары круговых многочленов
    13.7. Коэффициенты круговых многочленов
    13.8. Теорема Веддерберна
    13.9. Многочлены, неприводимые по модулю р

14. Многочлены Чебышева
    14.1. Определение и основные свойства
    14.2. Ортогональные многочлены
    14.3. Неравенства для многочленов Чебышева
    14.4. Производящая функция

15. Многочлены Бернулли
    15.1. Определения многочленов Бернулли
    15.2. Теоремы дополнения, сложения аргументов и умножения
    15.3. Формула Эйлера
    15.4. Теорема Фаульгабера-Якоби
    15.5. Арифметические свойства чисел и многочленов Бернулли

ГЛАВА 4. Некоторые свойства многочленов

16. Многочлены с предписанными значениями
    16.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
    16.2. Интерполяционный многочлен Эрмита
    16.3. Многочлен с предписанными значениями в нулях производной

17. Высота многочлена и другие нормы
    17.1. Лемма Гаусса
    17.2. Многочлены от одной переменной
    17.3. Максимум модуля и неравенство Бернштейна
    17.4. Многочлены от многих переменных
    17.5. Неравенство для пары взаимно простых многочленов
    17.6. Неравенство Миньотта

18. Уравнения для многочленов
    18.1. Диофантовы уравнения для многочленов
    18.2. Функциональные уравнения для многочленов

19. Преобразования многочленов
    19.1. Преобразование Чирнгауза
    19.2. Уравнение пятой степени в форме Бринга
    19.3. Представление многочленов в виде сумм степеней линейных функций

20. Алгебраические числа
    20.1. Определение и основные свойства
    20.2. Теорема Кронекера
    20.3. Теорема Лиувилля

ГЛАВА 5. Теория Галуа

21. Теорема Лагранжа и резольвента Галуа
    21.1. Теорема Лагранжа
    21.2. Резольвента Галуа
    21.3. Теорема о примитивном элементе

22. Основы теории Галуа
    22.1. Соответствие Галуа
    22.2. Многочлен с группой Галуа S₅
    22.3. Простые радикальные расширения
    22.4. Циклические расширения

23. Решение уравнений в радикалах
    23.1. Разрешимые группы
    23.2. Уравнения с разрешимой группой Галуа
    23.3. Уравнения, разрешимые в радикалах
    23.4. Абелевы уравнения
    23.5. Критерий Абеля-Галуа разрешимости уравнения простой степени

24. Вычисление групп Галуа
    24.1. Дискриминант и группа Галуа
    24.2. Резольвентные многочлены
    24.3. Группа Галуа по модулю р

ГЛАВА 6. Идеалы в кольцах многочленов

25. Теорема Гильберта о базисе и о нулях
    25.1. Теорема Гильберта о базисе
    25.2. Теорема Гильберта о нулях
    25.3. Многочлен Гильберта
    25.4. Однородная теорема Гильберта о нулях для р-полей

26. Базисы Грёбнера
    26.1. Многочлены от одной переменной
    26.2. Деление многочленов от многих переменных
    26.3. Определения базисов Грёбнера
    26.4. Алгоритм Бухберга
    26.5. Приведенный базис Грёбнера

ГЛАВА 7. Семнадцатая проблема Гильберта

27. Суммы квадратов: введение
    27.1. Некоторые примеры
    27.2. Теорема Артини-Касселса-Пфистера
    27.3. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
    27.4. Теорема Гильберта о неотрицательных многочленах p₄(x,y).

28. Теорема Артини
    28.1. Вещественные поля
    28.2. Теорема Сильвестра для вещественно замкнутых полей
    28.3. Семнадцатая проблема Гильберта

29. Теория Пфистера
    29.1. Мультипликативные квадратичные формы
    29.2. С_i-поля
    29.3. Теорема Пфистера о суммах квадратов рациональных функций

Дополнение

30. Алгоритм Ленстры-Ленстры-Ловаса
    30.1. Общее описание алгоритма
    30.2. Приведенный базис решетки
    30.3. Решетки и факторизация многочленов

Литература

Предметный указатель

---

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (3.01) ps (-) html (-) tex (-)