Неравенства в задачах
Израиль Хаимович Сивашинский
М: Наука (главная редакция физ-мат литературы), 1967. 302 с.
Книга представляет собой сборник упражнений на доказательство и решение неравенств, на нахождение наибольших и наименьших значений. В книге имеются также задачи, связанные с неравенствами. Все задачи снабжены решениями.
Доказательство ряда неравенств проводится методом математической индукции. Зачастую учащиеся, окончившие школу, имеют весьма смутное представление об этом методе, являющемся эффективным средством доказательства в математике. Поэтому автор счел целесообразным в начале ? 2 главы I дать некоторые сведения о методе математической индукции. Не ограничиваясь приложением этого метода к вопросам неравенств, автор разъяснил на примерах применение его и в доказательстве равенств.
В каждом параграфе задачи, объединенные общей темой или общим методом решения, по мере возможности, сгруппированы вместе и расположены в порядке возрастающей трудности.
Рекомендуется читателю каждую задачу попытаться решить самостоятельно и в случае успеха сравнить свое решение с тем, которое приведено в книге. Если же самостоятельно не удастся решить ту или иную задачу, то, ознакомившись с решением, следует обратить внимание не столько на специфику решения данной задачи, сколько на метод решения. Усвоение таких методов облегчит дальнейшее пользование книгой.
Автор выражает свою искреннюю признательность В. Г. Болтянскому и В. И. Левину, критические замечания и ценные советы которых способствовали улучшению книги, а также Н. Н. Дегтяреву и А. А. Могилевскому за большую работу по редактированию книги.
Содержание
Предисловие
Глава I. Доказательство неравенств
? 1. Простейшие неравенства
? 2. Доказательство неравенств методом математической индукции
? 3. Средние величины. Классические неравенства
? 4. Неравенства, приводимые к сравнению средних
? 5. Неравенства, связанные с показательной и логарифмической функциями
? 6. Неравенства, связанные с тригонометрическими функциями
? 7. Нахождение наибольших и наименьших значений функций
Глава II. Решение неравенств
? 1. Неравенства, связанные с рациональной функцией
? 2. Неравенства, связанные с иррациональностями
? 3. Неравенства, связанные с показательной и логарифмической функциями
? 4. Неравенства, связанные с тригонометрическими функциями
Глава III. Задачи, связанные с неравенствами
? 1. Нахождение области определения функций
? 2. Нахождение области значений функций
? 3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость
? 4. Задачи на составление неравенств
Глава IV. Неравенства в геометрии
? 1. Неравенства в планиметрии
? 2. Неравенства в стереометрии
Список использованной литературы
