Math.ru Библиотека

Энциклопедия элементарной математики.
Книга 3 (функции и пределы, основы анализа)

Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин

М.-Л., ГТТИ, 1952. 559 с.
Тираж 50000 экз.
Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.

Содержание

Предисловие.

Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.
(В.Л.Гончаров)

Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).

Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.
§ 7. Целые положительные степени.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17. Алгебраические иррациональные функции.
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32. Обратные тригонометрические функции.
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.

Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.
§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в "несобственном смысле").
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.
§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.
§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.

Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.

Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)

Введение.

Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
     1. Задачи, приводящие к понятию производной.
     2. Определение производной.
     3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
     4. Производные простейших элементарных функций.
     5. Дифференцирование обратных функций.
     6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
     7. Дифференциал.
     8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
     9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
     10. Теоремы Ферма и Ролля.
     11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
     12. Формула Тейлора.
     13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
     14. Признаки постоянства и монотонности функции.
     15. Экстремум функции.
     16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.

Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
     17. Основные понятия.
     18. Интегрирование с помощью подстановки.
     19. Интегрирование по частям.
     20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
     21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
     22. Определённый интеграл.
     23. Основные свойства интеграла.
     24. Интеграл, как функция верхнего предела.
     25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
     26. Формула Валлиса.
     27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
     28. Вычисление площадей.
     29. Вычисление объёмов.
     30. Длина дуги кривой.
     31. Площадь поверхности вращения.
     32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.

Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
     33. Основные понятия.
     34. Простейшие свойства рядов.
     35. Положительные ряды.
     36. Знакочередующиеся ряды.
     37. Абсолютная сходимость.
     38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
     39. Промежуток сходимости.
     40. Свойства суммы степенного ряда.
     41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
     42. Разложение арктангенса и вычисление π.
     43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
     44. Биномиальный ряд.
     45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.

Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)

§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.

Алфавитный указатель.

Список литературы


Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/59