Задачи по планиметрии.

Виктор Васильевич Прасолов

М.: Изд-во МЦНМО, 2001. 584 с.
ISBN 5-900916-82-0; Тираж 5000 экз.
Серия Библиотека математического кружка, выпуск 15

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (5.41) ps (-) html (-) tex (-)

В книгу включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1500 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения.

Настоящее издание дополнено по сравнению с предыдущим (3-е изд. — 1995).

Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.

Примечание:

В первых изданиях книга выходила в двух томах. В серии «Библиотека математического кружка» первый том был выпуском №15, а второй — №16.

---

Содержание

Предисловие

Глава 1. Подобные треугольники
    § 1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
    § 2. Отношение сторон подобных треугольников
    § 3. Отношение площадей подобных треугольников
    § 4. Вспомогательные равные треугольники
    § 5. Треугольник, образованный основаниями высот
    § 6. Подобные фигуры
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 2. Вписанный угол
    § 1. Углы, опирающиеся на равные дуги
    § 2. Величина угла между двумя хордами
    § 3. Угол между касательной и хордой
    § 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды
    § 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности
    § 6. Вписанный угол и подобные треугольники
    § 7. Биссектриса делит дугу пополам
    § 8. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
    § 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке
    § 10. Точка Микеля
    § 11. Разные задачи
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 3. Окружности
    § 1. Касательные к окружностям
    § 2. Произведение длин отрезков хорд
    § 3. Касающиеся окружности
    § 4. Три окружности одного радиуса
    § 5. Две касательные, проведенные из одной точки
    § 6. Применение теоремы о высотах треугольника
    § 7. Площади криволинейных фигур
    § 8. Окружности, вписанные в сегмент
    § 9. Разные задачи
    § 10. Радикальная ось
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 4. Площадь
    § 1. Медиана делит площадь пополам
    § 2. Вычисление площадей
    § 3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
    § 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник
    § 5. Разные задачи
    § 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
    § 7. Формулы для площади четырехугольника
    § 8. Вспомогательная площадь
    § 9. Перегруппировка площадей
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 5. Треугольники
    § 1. Вписанная и описанная окружности
    § 2. Прямоугольные треугольники
    § 3. Правильный треугольник
    § 4. Треугольники с углами 60° и 120°
    § 5. Целочисленные треугольники
    § 6. Разные задачи
    § 7. Теорема Менелая
    § 8. Теорема Чевы
    § 9. Прямая Симсона
    § 10. Подерный треугольник
    § 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек
    § 12. Точки Брокара
    § 13. Точка Лемуана
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 6. Многоугольнки
    § 1. Вписанная и описанная четырехугольники
    § 2. Четырехугольники
    § 3. Теорема Птолемея
    § 4. Пятиугольники
    § 5. Шестиугольники
    § 6. Правильные многоугольники
    § 7. Вписанные и описанные многоугольники
    § 8. Правильные выпуклые многоугольники
    § 9. Теорема Паскаля
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 7. Геометрические места точек
    § 1. ГМТ - прямая или отрезок
    § 2. ГМТ - окружность или дуга окружности
    § 3. Вписанный угол
    § 4. Вспомогательные равные треугольники
    § 5. Гомотетия
    § 6. Метод ГМТ
    § 7. ГМТ с ненулевой площадью
    § 8. Теорема Карно
    § 9. Окружность Ферма-Аполлония
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 8. Построения
    § 1. Метод геометрических мест точек
    § 2. Вписанный угол
    § 3. Подобные треугольники и гомотетия
    § 4. Построение треугольников по различным элементам
    § 5. Построение треугольников по различным точкам
    § 6. Треугольник
    § 7. Четырехугольники
    § 8. Окуржности
    § 9. Окружность Аполлония
    § 10. Разные задачи
    § 11. Необычные построения
    § 12. Построения одной линейкой
    § 13. Построения с помощью двусторонней линейки
    § 14. Построения с помощью прямого угла
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 9. Геометрические неравенства
    § 1. Медиана треугольника
    § 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника
    § 3. Сумма длин диагоналей четырехугольника
    § 4. Разные задачи на неравенство треугольника
    § 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон
    § 6. Неравенства с площадями
    § 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
    § 8. Ломаные внутри квадрата
    § 9. Четырехугольник
    § 10. Многоугольники
    § 11. Разные задачи
Задачи для самостоятельного решения
Приложение. Некоторые неравенства
Решения

Глава 10. Неравенства для элементов треугольника
    § 1. Медианы
    § 2. Высоты
    § 3. Биссектрисы
    § 4. Длины сторон
    § 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
    § 6. Симметричные неравенства для углов треугольника
    § 7. Неравенства для углов треугольника
    § 8. Неравенства для площади треугольника
    § 9. Против большей стороны лежит больший угол
    § 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
    § 11. Неравенства для прямоугольных треугольников
    § 12. Неравенства для остроугольных треугольников
    § 13. Неравенства в треугольниках
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 11. Задачи на максимум и минимум
    § 1. Треугольник
    § 2. Экстремальные точки треугольника
    § 3. Угол
    § 4. Четырехугольники
    § 5. Многоугольники
    § 6. Разные задачи
    § 7. Экстремальные свойства правильных многоугольников
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 12. Вычисления и метрические соотношения
    § 1. Теорема синусов
    § 2. Теорема косинусов
    § 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
    § 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы
    § 5. Синусы и косинусы углов треугольника
    § 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника
    § 7. Вычисление углов
    § 8. Окружности
    § 9. Разные задачи
    § 10. Метод координат
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 13. Векторы
    § 1. Векторы сторон многоугольников
    § 2. Скалярное произведение
    § 3. Неравенства
    § 4. Сумма векторов
    § 5. Вспомогательные проекции
    § 6. Метод усреднения
    § 7. Псевдоскалярное произведение
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 14. Центр масс
    § 1. Основные свойства центра масс
    § 2. Теорема о группировке масс
    § 3. Момент инерции
    § 4. Разные задачи
    § 5. Барицентрические координаты
    § 6. Трилинейные координаты
Решения

Глава 15. Параллельный перенос
    § 1. Перенос помогает решить задачу
    § 2. Построения и геометрические места точек
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 16. Центральная симметрия
    § 1. Симметрия помогает решить задачу
    § 2. Свойства симметрии
    § 3. Симметрия помогает решить задачу. Построения
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 17. Осевая симметрия
    § 1. Симметрия помогает решить задачу
    § 2. Построения
    § 3. Неравенства и экстремумы
    § 4. Композиция симметрий
    § 5. Свойства симметрий и осей симметрии
    § 6. Теорема Шаля
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 18. Поворот
    § 1. Поворот на 90°
    § 2. Поворот на 60°
    § 3. Повороты на произвольные углы
    § 4. Композиция поворотов
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 19. Гомотетия и поворотная геометрия
    § 1. Гомотетичные многоугольники
    § 2. Гомотетичные окружности
    § 3. Построения и геометрические местра точек
    § 4. Композиция гомотетий
    § 5. Поворотная гомотетия
    § 6. Центр поворотной гомотетии
    § 7. Окружность подобия трех фигур
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 20. Принцип крайнего
    § 1. Наименьший и наибольший угол
    § 2. Наименьшее и наибольшее расстояние
    § 3. Наименьшая и наибольшая площадь
    § 4. Наибольший треугольник
    § 5. Выпуклая оболочка и опорные прямые
    § 6. Разные задачи
Задачи для самостоятельного решения
Решения

Глава 21. Принцип Дирихле
    § 1. Конечное число точек, прямых и т.д.
    § 2. Углы и длины
    § 3. Площадь
Решения

Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
    § 1. Выпуклые многоугольники
    § 2. Теорема Хелли
    § 3. Невыпуклые многоугольники
Решения

Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
    § 1. Чет и нечет
    § 2. Делимость
    § 3. Инварианты
    § 4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке
    § 5. Другие вспомогательные раскраски
    § 6. Задача о раскрасках
Решения

Глава 24. Целочисленные решетки
    § 1. Многоугольники с вершинами в узлах решетки
    § 2. Разные задачи
Решения

Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия
    § 1. Равносоставленные фигуры
    § 2. Разрезания на части, обладающие специальными свойствами
    § 3. Свойства частей, полученных при разрезаниях
    § 4. Разрезания на параллелограммы
    § 5. Плоскость, разрезанная прямыми
    § 6. Разные задачи на разрезания
    § 7. Разбиение фигур на отрезки
    § 8. Покрытия
    § 9. Замощения костями домино и плитками
Решения

Глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
    § 1. Системы точек
    § 2. Системы отрезков, прямых и окружностей
    § 3. Примеры и контрпримеры
Решения

Глава 27. Индукция и комбинаторика
    § 1. Индукция
    § 2. Комбинаторика
Решения

Глава 28. Инверсия
    § 1. Свойства инверсии
    § 2. Построение окружностей
    § 3. Построение одним циркулем
    § 4. Сделаем инверсию
    § 5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
    § 6. Цепочки окружностей
Решения

Глава 29. Афинные преобразования
    § 1. Афинные преобразования
    § 2. Решение задач при помощи афинных преобразований
    § 3. Комплексные числа
    § 4. Эллипсы Штейнера
Решения

Глава 30. Проективные преобразования
    § 1. Проективные преобразования прямой
    § 2. Проективные преобразования плоскости
    § 3. Переведем данную прямую на бесконечность
    § 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность
    § 5. Применение проективных преобразований в задачах на доказательство
    § 6. Применение проективных преобразований в задачах на построение
    § 7. Невозможность построений одной линейкой
Решения

Дополнениe

Предметный указатель

---

Загрузить (Mb) djvu (-) pdf (5.41) ps (-) html (-) tex (-)