Математические бильярды.

Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики.

Григорий Александрович Гальперин, Александр Николаевич Земляков

М.: Наука, 1990. 288 с.
ISBN 5-02-014080-5; Тираж 130000 экз.
Серия Библиотечка «Квант», выпуск 77

Загрузить (Mb) djvu (11.49) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др.

На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геодезических на простейших двумерных поверхностях, предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи.

Для школьников 9-10-х классов.

---

Содержание

Предисловие.

Введение.

Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

Глава 1. Бильярд в круге.
      § 1. Шар в круглом бильярде без луз.
      § 2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел.
      § 3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфигурационное и фазовое пространства. Парадокс Цермело и модель Эренфестов.

Глава 2. Бильярд в эллипсе.
      § 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каустики.
      § 5*. Задача об освещении невыпуклой области.
      § 6. Экстремальные свойства бильярдных траекторий. Принцип Ферма и теорема Биркгофа.

Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО БИЛЬЯРДА.

Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда.
      § 7. Бильярдный шар на прямоугольном столе без луз.
      § 8. Top и его обмотки.
      § 9. Бильярд в прямоугольнике и тор.

Глава 4. Физика прямоугольного бильярда.
      § 10. Фигуры Лиссажу.
      § 11. Бильярд в прямоугольнике и осциллограф.
      § 12. Задача о пеленге.

Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ.

Глава 5. Одномерный "газ" из двух молекул.
      § 13. Два упруго сталкивающихся шара на отрезке.
      § 14. Два шара на отрезке: сведение к бильярду в треугольнике.
      § 15. Два шара на полупрямой: сведение к бильярду в угле.

Глава 6. Одномерный "газ" из большого числа молекул.
      § 16. Три упругих шара на прямой.
      § 17. n упругих шаров на прямой.
      § 18*. Число столкновений между молекулами одномерного "газа".

Глава 7**. Многомерный "газ".
      § 19. Конфигурационное пространство "газа" из n молекул в пространстве и сосуде.
      § 20. Сведение "газа" в пространстве и сосуде к бильярду.
      § 21. Рост числа столкновений между молекулами "газа".

Часть IV. БИЛЬЯРДЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ И МНОГОГРАННИКАХ.

Глава 8. Геометрия многоугольного бильярда.
      § 22. Бильярды в "торических" многоугольниках.
      § 23. Склейка поверхностей из многоугольников.
      § 24. Бильярды в рациональных многоугольниках и поверхности.

Глава 9. Поведение бильярдных траекторий в многоугольниках.
      § 25. Траектории в рациональных многоугольниках и обмотки кренделей.
      § 26. Может ли непериодическая траектория в выпуклом многоугольнике не быть всюду плотной в нем?
      § 27. Периодические траектории в многоугольниках и многогранниках.

Заключение.

Список литературы.

---

Загрузить (Mb) djvu (11.49) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)